罗塔用粉笔画出例子:对于gf(2),已知禁子包括均匀拟阵和某些二元仿射几何;对于gf(3),禁子更复杂。
他解释道:“这类似于图论中的库拉托夫斯基定理,但推广到拟阵的矩阵实现。
证明这个猜测,将统一拟阵的表示理论,提供有限障碍物来决定一个拟阵是否能嵌入有限域的向量空间。”
等罗塔说到这里,林燃可以确认,这就是罗塔猜想。
罗塔猜想一直到他来的那个时间点,也就是 。
等到罗塔的报告结束的提问环境,台下举着的手不多,第一排更是只有林燃举手。
勒雷马上道:“教授,你请说。”
林燃起身问道:“罗塔教授,您的猜测引人入胜。
我注意到,对于特征2的有限域,我们或许能部分验证。
假设我们考虑二元拟,它们对应于gf(2)上的表示。
已知禁子包括fano平面,也就是pg(2,2)的对偶和某些非fano配置。
但如果我们限制到秩r≤4的拟阵,我相信能证明有限禁子存在。
我可以上台演示吗?”
罗塔眼睛亮起:“当然,请上来,教授。”
这相当于你一个小透明,大牛突然对你的报告感兴趣。
你自然喜上眉梢。
罗塔不是小透明,可林燃也不是一般大牛啊。
林燃走上台,借用黑板,开始他的讲解。
他先擦掉部分笔记,画出一个秩3的二元拟阵矩阵表示:一个3xn的gf(2)矩阵,列向量线性独立。
“让我们从基本开始。拟阵m的基是其独立集的最大子集。对于gf(2)-可表示的m,其表示矩阵的列满足:任意子集的线性相关性对应于拟阵的循环。”
现场所有人都意识到,林燃要开始表演了。
林燃接着写道:“假设m避免了已知禁子:7点拟阵、其对偶,以及5点3秩均匀拟阵。
对于r≤3,我们用whitney的破阵理论分类:所有这样的m必须是图拟阵或其补,或二元仿射几何ag(3,2)的子类。
现在,推广到r=4:考虑tutte多项式t(m;x,y),这是一个双变量多项式,编码了m的独立集和循环。
t(m;1,1)给出基的数量”
林燃结束时,擦掉粉笔灰:“这为gf(2)上的低秩情况提供了部分证明。
如果推广到更高阶域,或许需schauder-leray拓扑工具。
罗塔教授,你的猜想很有意思。
仓促之下,我也只能给一个特定情况下的完整证明。”
罗塔已经沉浸在林燃的解答里无法自拔,台下的反应更是如潮水般汹涌。
从前到后,格罗滕迪克带头起身鼓掌。
“这是哥廷根神迹再现吗?”
“罗塔整个人都呆住了。”
“我就想问问,教授结婚了没?我想把我女儿嫁给他!或者不嫁给他,只是和他一起培育一个下一代也行啊!”
台下议论声四起。